Số nguyên là gì? Số nguyên dương là gì? Đây đều là những khái niệm toán học rất cơ bản mà các bạn học sinh từ cấp 2 trở nên đều phải nắm rõ để vận dụng giải các bài toán nhằm đạt kết quả tốt nhất trong cá0c bài kiểm tra và kỳ thi. Và để giúp các bạn hiểu hơn về khái niệm số nguyên dương thì chúng ta hãy cùng đi tìm hiểu trong bài viết dưới đây.
Nội dung bài viết
Số nguyên là gì?
Trong Toán học số nguyên thường bao gồm các số nguyên dương, các số nguyên âm và số 0. Hay còn nói cách khác thì số nguyên là tập hợp bao gồm số không, số tự nhiên dương và các số đối của chúng còn được gọi là số tự nhiên âm.
Tập hợp số nguyên là vô hạn nhưng có thể được đếm được và số nguyên được kí hiệu là Z.
Số nguyên là tập hợp các số vô hạn đếm được. Số nguyên được phân ra làm 2 loại, đó chính là số nguyên dương và số nguyên âm.
Tính chất của số nguyên
+ Số nguyên có những tính chất cơ bản như sau:
+ Không có số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất.
+ Số nguyên dương nhỏ nhất là số 1. Số nguyên âm nhỏ nhất là số -1.
+ Một tập con hữu hạn bất kỳ của tập hợp Z luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.
+ Không có số nguyên nào nằm ở giữa hai số nguyên liên tiếp
Nguyên lý quy nạp của số nguyên
Cho A là tập hợp con của Z.
Nếu k Î A và n Î A Þ n + 1 Î A , “n ≥ k thì mọi số nguyên sẽ lớn hơn hay bằng k đều thuộc A.
Nếu a và b thuộc Z , a < b thì a + 1 <= b
Số nguyên dương là gì?
Như đã nói ở trên thì số nguyên chia ra làm 2 loại đó là số nguyên âm và số nguyên dương. Theo lí thuyết, số nguyên dương là tất cả những số nguyên lớn hơn 0. Còn số tự nhiên là tập hợp bao gồm số 0 và những số nguyên dương. Như vậy có thể thấy số nguyên dương được xem là một tập con của số tự nhiên.
Bài toán ứng dụng tìm số nguyên dương nhỏ nhất
Đề bài: Hãy tìm số nguyên dương n bé nhất có thể thỏa mãn tính chất không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào bao gồm 1999 số hạng và cấp số cộng đó chứa n số nguyên.
Bài giải: Với n=1n=1 ta dễ dàng tìm được cấp số cộng bao gồm 19991999 số hạng và chứa đúng 11 số hạng nguyên. ví dụ như cấp số cộng có số hạng đầu là số nguyên và công sai dd thỏa mãn điều kiện 0<d<119980<d<11998.Vì vậy, từ đây trở xuống ta chỉ có thể xét trường hợp n>1n>1.
Trước hết nhận xét rằng nếu tồn tại cấp số cộng AA có công sai dAdA gồm 1999 số hạng và có đúng nn số hạng nguyên thì nn số hạng đó có thể được xếp thành một cấp số cộng tăng có công sai δδ là số nguyên dương. Khi đó cũng tồn tại cấp số cộng BB tăng có công sai dBdB bao gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên, cũng là nn số nguyên liên tiếp chỉ cần chọn dB=|dA|δdB=|dA|δ.
Điều đó tương đương với mệnh đề sau, ta tạm gọi là mệnh đề XX.
“Nếu không tồn tại cấp số cộng BB tăng bao gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên và là nn số nguyên liên tiếp thì cũng không tồn tại được cấp số cộng AA gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên”
Bây giơ, chúng ta sẽ xét một cấp số cộng tăng có công sai dd gồm 1999 số hạng và có đúng nn số hạng nguyên bvaf cũng là nn số nguyên liên tiếp k ; k+1 ; … ; k+n-1
Ta có thể gọi các số hạng của cấp số cộng là u1,u2,…,ua,…,uz,…,u1999u1,u2,…,ua,…,uz,…,u1999 với (ua=kua=k ; uz=k+n−1uz=k+n−1)
Đặt m=[1998n−1]⇒d=1mm=[1998n−1]⇒d=1m
Vì ua−u1<1⇒p=ua−u1d<mua−u1<1⇒p=ua−u1d<m
Tương tự u1999−uz<1⇒q=u1999−uzd<mu1999−uz<1⇒q=u1999−uzd<m
(m∈N∗m∈N∗ và p,q∈Np,q∈N)
Đặt 1998=m(n−1)+r⇒r=p+q1998=m(n−1)+r⇒r=p+q
Vì p<mp<m và q<mq<m suy ra r<2m−1r<2m−1
Như vậy điều kiện cần để thỏa mãn điều kiện không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng nn số hạng nguyên và là nn số nguyên liên tiếp đó là r⩾2m−1r⩾2m−1
Trong đó, m=[1998n−1]m=[1998n−1] và rr là số dư của phép chia 1998 cho n-1
r⩾2m−1⇒n⩾64r⩾2m−1⇒n⩾64 (vì nếu n<64n<64 thì r<62r<62 còn m⩾32m⩾32)
Dễ dàng tìm thấy n=70n=70 có giá trị nhỏ nhất để r⩾2m−1r⩾2m−1 (khi đó m=28m=28 ; r=66r=66)
Với n=70n=70 thì không tồn tại cấp số cộng tăng gồm 1999 số hạng có đúng 7070 số hạng nguyên và là 7070 số nguyên liên tiếp và xét theo mệnh đề XX ở trên thì cũng không tồn tại cấp số cộng bao gồm 1999 số hạng có đúng 7070 số hạng nguyên.
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của nn cần tìm chính là 7070.
Qua bài viết này chắc hẳn các bạn cũng đã biết được số nguyên dương là gì để áp dụng giải các bài toán của mình. Ngoài ra, nếu bạn thấy bài viết hay và hữu ích cả với bạn bè của bạn thì đừng quên nhấn nút Like và Share để mọi người cùng tham khảo nhé.
