Các hằng đẳng thức mở rộng là một trong những kiến thức căn bản mà bất kỳ bạn học sinh nào từ cấp 2 trở lên cũng cần phải vững để áp dụng giải các bài toán có liên quan. Và để giúp các bạn củng cố kiến thức về chủ đề các hằng đẳng thức đáng nhớ, chúng ta hãy cùng đi tìm hiểu trong bài viết dưới đây.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản nhất

Trong toán học, hằng đẳng thức đáng nhớ chính là những đẳng thức cơ bản được chứng minh bằng phép tính nhân đa thức với đa thức. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong những bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, thực hiện biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và cấp trung học phổ thông.

hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản
7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản nhất

Tóm tắt lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ nhất

Trong những hằng đẳng thức này, chúng ta có một bên dấu bằng sẽ là tổng hoặc hiệu và bên gọi lại là tích hoặc phần lũy thừa. Dưới đây là bảng hằng đẳng thức đáng nhớ dành mà bạn cần phải nhớ:

  • Bình phương của một tổng: (a+b)2=a2+2ab+b2
  • Bình phương của một hiệu: (a−b)2=a2−2ab+b2
  • Hiệu hai bình phương: a2−b2=(a+b)(a−b)
  • Lập phương của một tổng: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
  • Lập phương của một hiệu: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
  • Tổng hai lập phương: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
  • Hiệu hai lập phương: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

Phát biểu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời

  1. Bình phương của 1 tổng sẽ được tính bằng bình phương của số thứ 1 cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai. (a+b)2=a2+2ab+b2
  2. Bình phương của 1 hiệu sẽ được tính bằng bình phương của số thứ 1 trừ 2 lần tích số thứ nhất với số thứ 2 cộng với bình phương của số thứ 2. (a−b)2=a2−2ab+b2
  3. Hiệu của 2 bình phương sẽ được bằng tích của tổng 2 số với hiệu của 2 số. a2−b2=(a+b)(a−b)
  4. Lập phương của 1 tổng sẽ được tính bằng với lập phương số thứ 1 + 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương của số thứ 2 + lập phương số thứ 2. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
  5. Lập phương của 1 hiệu sẽ bằng với lập phương của số thứ 1 -3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương của số thứ 2 – lập phương số thứ 2. (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
  6. Tổng hai lập phương sẽ được tính bằng tích giữa tổng 2 số với bình phương thiếu của 1 hiệu. a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
  7. Hiệu của 2 lập phương sẽ được tính bằng với tích giữa hiệu hai số với bình phương thiếu của 1 tổng. a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Phát biểu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời

Các hằng đẳng thức mở rộng thường gặp

Bạn cũng cần phải lưu ý đến những hằng đẳng thức mở rộng thường gặp nhất trong các bài thi và bài kiểm tra như sau:

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

  • (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
  • (a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2ac−2bc
  • (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc

Hằng đẳng thức mũ  3

  • a3+b3 = (a+b)3–3ab(a+b)
  • a3–b3 = (a–b)3+3ab(a–b)
  • (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)
  • a3+b3+c3−3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
  • (a–b)3+(b–c)3+(c–a)3 = 3(a–b)(b–c)(c–a)
  • (a+b)(b+c)(c+a)–8abc = a(b–c)2+b(c–a)2+c(a–b)2
  • (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc
  • (a+b)(b+c)(c+a)–8abc = a(b–c)2+b(c–a)2+c(a–b)2
  • (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−an−4b3+…+a2bn−3−a.bn−2+bn−1)

*Với n là số lẻ thuộc tập N

an–bn=(a–b)(an–1+an–2b+an–3b2+…+a2bn–3+abn–2+bn–1)

Tìm hiểu nhị thức Newton là gì?

(a+b)n=∑nk=0Cknan–kbk

Với:

  • a,b ϵ R
  • n ϵ N

Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao

Với những bài toán nâng cao, các bạn cần áp dụng các hằng đẳng thức mở rộng như sau:

Bình phương của (n) số hạng ((n>2))

((a1+a2+a3+…+a(n+1)+an)2=a12+a22+a32+…+an2+2a1a2+2a1a3+…+2a1an+2a2a3…+a(n-1)an)

Hằng đẳng thức (an+bn) ( với n là số lẻ)

(an+bn=(a+b)(a(n-1)-a(n-2)b+a(n-3)b2+…+b(n-1)))

Hằng đẳng thức  (an-bn) ( với n là số lẻ)

(an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-1))

Hằng đẳng thức  (an-bn) (với n là số chẵn)

(an-bn=(a-b)(an-1+a(n-2)b+a(n-3)b2+…+bn-1))

hoặc: (=(a+b)(a(n-1)-a(n-2)b+a(n-3)b2+…-b(n-1)))

Lưu ý: Gặp bài toán có công thức (an-bn) (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:

(a2-b2=(a+b)(a-b)) (viết ((a+b)) trước )

(a2-b2=(a-b)(a+b)) ( viết ((a-b)) trước ).

Chú ý: Gặp bài toán (an+bn) ( với n là số chẵn) hãy nhớ

(a2+b2) không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Thế nhưng trong một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể được biến đổi thành tích được.

Mẹo nhớ các hằng đẳng thức

 Nếu để ý, bạn có thể  dễ dàng nhận thấy rằng, các hằng đẳng thức: Bình phương của 1 tổng và 1 hiệu; Lập phương của 1 tổng và 1 hiệu hay Tổng và Hiệu 2 lập phương đều khá tương tự nhau và chỉ khác nhau ở dấu. Do đó,  điều cần lưu ý ở đây chính là ghi nhớ dấu của chúng, từ đó chúng ta có thể học thuộc một cách chính xác, dễ nhớ và không bị nhầm lẫn.

các hằng đẳng thức mở rộng
Mẹo nhớ các hằng đẳng thức

Đối với hằng đẳng thức Lập phương của 1 hiệu và Tổng 2 lập phương thì chúng ta cần lưu ý đó chính là:

“ Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng”

“Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu”

Những khó khăn khi học hằng đẳng thức

Đối với những bạn học sinh đã có tư chất thông minh bẩm sinh thì chắc hẳn những hằng đẳng thức sẽ không làm khó được. Tuy nhiên có rất nhiều bạn gặp phải khó khăn khi học khối lượng kiến thức này và cần phải tìm đến sự giúp đỡ từ phía người quen, giáo viên, phụ huynh,… Khi học bất đẳng thức, các bạn học sinh thường gặp những lỗi cơ bản như:

Nhầm dấu của các hạng tử trong hằng đẳng thức

Khó khăn đầu tiên trong việc giải bài tập của 7 bất hằng đẳng thức đáng nhớ  hay mở rộng ra 10 hằng đẳng thức đáng nhớ đó là nhầm dấu của những hạng tử trong hằng đẳng thức.

Đây là lỗi rất phổ biến với các em học sinh, vì sự nhầm lẫn các dấu cộng, trừ, nhân, chia rất dễ mà chỉ cần nhầm dấu ở một bước thôi là các bạn đã có thể giải sai toàn bộ bài tập đó. Cách khắc phục không còn cách nào ngoài việc ghi nhớ chính xác tất cả những hằng đẳng thức này để không nhầm lẫn nữa.

Chưa biết cách áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức với nhau để giải  một bài toán  

Nếu chỉ sử dụng một hằng đẳng thức cơ bản thì sẽ gây rất nhiều khó khăn cho học sinh, thậm chí sẽ không giải được bài toán. Tuy nhiên nếu như biết cách vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức thì học sinh có thể giải bài tập dễ dàng. Bạn hãy chăm chỉ thực hành cùng gia sư hoặc những bạn học sinh khá để giải các bài tập để có thể sử dụng linh hoạt các dạng bài cần áp dụng hằng đẳng thức, từ đó mới có thể giải quyết được vấn đề nhanh chóng và dễ dàng.

hằng đẳng thức mũ 3
Những khó khăn khi học hằng đẳng thức

Chưa biết cách suy luận để áp dụng hằng đẳng thức phù hợp vào giải bài toán mới

Toán học có vô số dạng bài tập chứ không chỉ theo một vài dạng cố định nào cả, do đó học sinh cần phải suy luận để tìm ra cách giải nhanh và phù hợp nhất. Một số học sinh có học lực chưa giỏi có thể hay gặp khó khăn trong việc suy luận áp dụng hằng đẳng thức trong việc giải toán, vấn đề này cũng cần học sinh phải rèn luyện nhiều mới có thể tư duy linh hoạt hơn và có được những phương pháp suy luận nhanh và chính xác.

Trên đây là những chia sẻ về các hằng đẳng thức mở rộng và nâng cao, chúng tôi hy vọng đã giúp bạn nắm được những thông tin hữu ích nhất. Nếu như bạn còn có bất kỳ các thắc mắc nào muốn được tư vấn và hỗ trợ nhanh nhất về vấn đề này thì hãy liên hệ với chúng tôi để được giải đáp nhanh chóng nhất.